Hva er en enkel harmonisk oscillator og dens applikasjoner

I vårt daglige liv observerer vi forskjellige typer bevegelser, for eksempel en bils lineære bevegelse, vibrasjonsbevegelse av en streng, en sirkulær bevegelse av en klokke, osv ... En av de mest interessante og essensielle bevegelsestypene er periodisk bevegelse. En kropp sies å bevege seg i periodisk bevegelse når den gjentar banen etter hvert tidsintervall. Et eksempel på periodisk bevegelse er bevegelse fra klokkehender, rotasjon av jorden, bevegelse av en pendel osv. Når denne periodiske bevegelsen handler om et fast referansepunkt, kalles det en oscillerende bevegelse. Simple Harmonic Oscillator er et spesielt tilfelle av den oscillerende bevegelsen.

Hva er en enkel harmonisk oscillator?

En oscillator som utfører den enkle harmoniske bevegelsen kalles Simple Harmonic Oscillator. Den periodiske frem og tilbake bevegelsen av partikler mot et fast middelpunkt kalles den oscillerende bevegelsen. Det er betegnet med formelen F = -kxⁿ, hvor n er et oddetall som angir antall svingninger. Når verdien av n = 1 kalles den oscillerende bevegelsen den enkle harmoniske bevegelsen.

Simple Harmonic Oscillator består av en horisontalt plassert fjær der den ene enden er festet til et fast punkt og den andre enden er festet til et bevegelig objekt med masse m. Massens posisjon i likevekt kalles middelposisjonen. Når massen trekkes parallelt med fjæraksen, begynner den å bevege seg frem og tilbake om middelposisjonen. En gjenopprettende kraft, motsatt forskyvningsretningen, virker på massen som trekker den mot middelposisjonen. Denne enheten er nå kjent som en enkel harmonisk oscillator.

Simple Harmonic OscillatorLigning

I enkel harmonisk bevegelse er gjenopprettingskraften direkte proporsjonal med forskyvningen av massen og virker i retning motsatt forskyvningsretningen, og trekker partiklene mot middelposisjonen.

I følge Newtons lov er kraften som virker på massen m gitt av F = -kxⁿ. Her er k konstanten og x betegner forskyvningen av objektet fra middelposisjonen. Forskyvning er proporsjonal med akselerasjonen av massen omtrent middelposisjonen. I enkel harmonisk bevegelse er verdien av n = 1.

Da akselerasjonen er proporsjonal med forskyvning, a = d^tox / dt ^to. Erstatt verdiene i Newtons ligning.

Dermed, F = ma , F = -kx.

Derfor, -kx = ma —- (1)

-kx = m (d^tox / dt^to)

Ved å omorganisere, -kx / m = (d^tox / dt^to).--(to)

Funksjonen hvis andre derivat i seg selv er med et negativt tegn, vil være enkel harmonisk oscillatorløsning for ligningen ovenfor. Sine og Cosine funksjoner tilfredsstiller dette kravet.

f (x) = sin x, (d^tox / dt^to) (f (x)) = -sin x

f (x) = cos x, (d^tox / dt^to) (f (x)) = -cos x

For enkelhet er synd (Φ) valgt. Fasevinkelen beskriver massens fortrengningsposisjoner fra middelpunktet. Ved middelposisjonen, Φ = 0. Når massen beveger seg i retning fremover og når maksimumspunktet, er Φ = π / 2. Når massen går tilbake til gjennomsnittlig bevegelse etter maksimal fremoverposisjon, Φ = π. Når massen beveger seg bakover og når et maksimalt punkt, er point = 3π / 2 og nå når den beveger seg til gjennomsnittsposisjonen, Φ = 2π.

Det som massen tar for å fullføre en komplett frem og tilbake-syklus, kalles perioden betegnet med T. Antallet slik svingning som forekommer per tidsenhet kalles svingningsfrekvensen, f. A betegner ekstreamposisjonene til objektet og også kalt som amplitude. Dermed er forskyvningen av den enkle harmoniske bevegelsen en algebraisk sinusformet funksjon gitt som

x = A sin ωt —- (3)

Hvor ω er vinkelfrekvensen avledet som Φ / t. Fra Eqn (2)

-kx / m = (d^tox / dt^to). ω = 2πf, T = 1 / f

x = A sin (2πft + Φ), erstatning i (2)

-k (A sin (2πft + Φ) / m = -4π^tof^toAsin (2πft + Φ)

Ved å løse, f = (1 / 2π) √ (k / m)

ω = √ (k / m)

Dermed er x = Asin√ (k / m) t ligningen til en enkel harmonisk oscillator.

Enkle harmoniske bevegelsesgrafer

I en enkel harmonisk oscillator er gjenopprettingskraft som virker på fjæren alltid rettet i motsatt retning av massens forskyvning. Når massen beveger seg mot den positive utstrømningsposisjonen + A, er akselerasjonen og kraften negativ og er maksimal. Når objektet beveger seg mot middelposisjonen fra + A-posisjonen, øker hastigheten mens akselerasjonen er null i middelposisjonen.

Enkel-harmonisk bevegelse.

Hastigheten og hastigheten til den enkle harmoniske oscillatoren kan avledes fra ovenstående enkel harmonisk oscillator bølgeform . Forskyvningen av objektet er gitt av x = Asinωt = Asin√ (k / m) t. Hastighet er gitt som V = ωA cos ωt. Akselerasjon er gitt som = -ω^tox. Perioden er gitt som T = 1 / f hvor f er frekvensen gitt som ω / 2π, der ω = √ (k / m).

Kraft som virker på massen i gjennomsnittlig stilling er 0 og akselerasjonen er også 0. I en enkel harmonisk oscillator er akselerasjon proporsjonal med forskyvning. Krafttegnet avhenger av objektets forskyvningsretning fra middelposisjonen.

Enkle applikasjoner for harmoniske oscillatorer

Simple Harmonic Oscillator er et fjærmassesystem. Den brukes i klokker som en oscillator, i gitar, fiolin. Det sees også i bilstøtdemperen der fjærer er festet til bilhjulet for å sikre en jevnere tur. Metronome er også en enkel harmonisk oscillator som genererer kontinuerlige flått som hjelper musikeren til å spille et stykke med konstant hastighet.

En enkel harmonisk bevegelse kommer under den oscillerende bevegelseskategorien periodisk bevegelse. Alle oscillerende bevegelser er periodiske, men ikke alle periodiske bevegelser er oscillerende. Gjenopprettingskraften i en enkel harmonisk oscillator adlyder Hookes lov.

Enkel harmonisk bevegelse avhenger av stivheten til gjenopprettingskraften og gjenstandens masse. En enkel harmonisk oscillator med stor masse oscillerer med mindre frekvens. De oscillator med høy gjenopprettingskraft svinger med høy frekvens. Forskyvning, hastighet, amplitude og kraftparametere til den enkle harmoniske oscillatoren blir alltid beregnet ut fra fjærens middelposisjon. Frekvensen og perioden av svingningene påvirkes ikke av amplituden. Hva er objektets hastighet og akselerasjon når fjæren er i sin gjennomsnittlige stilling?